Algebra multilineal de e.v. euclideanos

Algebra multilineal de e.v. euclideanos

Álgebra Multilineal de E.V. Euclideanos.

Juan Manuel Márquez B.

Estos son algunos hechos básicos de los — espacios vectoriales euclideanos — espacios vectoriales con producto interior y las ideas de transformaciones multilineales conocidas como tensores.

Sea $\mathrm{V}$ un espacio euclideano con $\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}$ su producto interior en el, es decir un mapeo $\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ que cumple:

i) $\mathrm{⟨}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{X}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}$

ii) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{Y}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{⟩}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}$

iii) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{X}\mathrm{⟩}$

iv) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{X}\mathrm{⟩}\mathrm{>}\mathrm{0}$ cuando $\mathrm{X}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$

v) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{X}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{0}$ si y solo si $\mathrm{X}\mathrm{=}\mathrm{0}$,

es decir, $\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}$ es un mapeo bilineal, simétrico y positivo-definido.

1. El conjunto de transformaciones lineales también es un e.v.

2. Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales reales de dimensión finita. Entonces su producto tensorial $V\otimes W$ es el espacio vectorial real de dimensión igual al producto de $dimV$ por $dimW$, y cuya base son los símbolos:

   $$b_i\otimes c_j$$

   donde los $b_i$ son base para $V$ y los $c_j$ base para $W$.

   Por ejemplo, si $V=⟨\{b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_8\}⟩$ y $W=⟨\{c_1,c_2,\mathrm{\dots },c_{11}\}⟩$ entonces

   $$V\otimes W=⟨\{b_1\otimes c_1,b_1\otimes c_2,b_1\otimes c_3,\mathrm{\dots },b_8\otimes c_{11}\}⟩$$

   de donde vemos que $dim(V\otimes W)=88$.

3. Un elemento típico $B\in V\otimes W$ se escribe como una combinación lineal de los $b_i\otimes c_j$:

   $$B=B^{\mu \nu }{b}_{\mu }\otimes c_{\nu }$$

   donde se esta usando la convención de la suma de Einstein y que significa:

   $$B^{\mu \nu }{b}_{\mu }\otimes c_{\nu }=B^{11}{b}_1\otimes c_1+B^{12}{b}_1\otimes c_2+B^{21}{b}_2\otimes c_1+\mathrm{\cdots }+B^{8,11}{b}_8\otimes c_{11}$$

4. El espacio dual $V^{*}$ es el conjunto de transformaciones lineales $V\to R$ también llamados funcionales lineales o covectores.
   $V^{*}$ es un espacio vectorial con la suma $(f+g)(X)=f(X)+g(X)$ y la acción de los escalares vía $(rf)(X)=rf(X)=f(rX)$.

5. Cada $f\in V^{*}$ puede representarse a través de

   $$f(X)=⟨X,a⟩,$$

   donde $a\in V$ es fijo (Lema de Riesz).
   O dicho de otra forma: las únicas transformaciones lineales $V\mathrm{\to }R$ son

   $$X⟼⟨X,a⟩$$

6. Sea $\{b_1,\mathrm{\dots },b_n\}$ una base para $V$ entonces la matriz de Gram o tensor métrico de esta base es

   $$G=\left[\begin{array}{c}\hfill g_{ij}=⟨b_i,b_j⟩\hfill \end{array}\right].$$

   Tal matriz $G=[g_{ij}]$ es no singular debido a la independencia lineal de los $b_i$.

7. Se denota con $g^{ij}$ las entradas de la matriz $G^{-1}={[g_{ij}]}^{-1}$. Observe que ${\sum }_k{g}^{ik}{g}_{kj}={\delta }_j^i$ y que ${\sum }_k{g}_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j$. Que mediante la convención de la suma se escribe solamente

   $$g^{ik}{g}_{kj}={\delta }_j^i$$

   pues $G^{-1}G=1$ como producto de matrices, y

   $$g_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j.$$

   ya que $G{G}^{-1}=1$ también como producto de matrices.

8. La base reciproca $b^i$ a $b_i$ se construye con

   $$b^i=g^{ij}{b}_j,$$

   con suma sobre $j$. Enfaticemos que $g^{ij}{b}_j=g^{i1}{b}_1+g^{i2}{b}_2+\mathrm{\cdots }{g}^{in}{b}_n$

9. Representamos con $b^i$ los covectores

   $${\beta }^i(\mathit{\hspace{1em}}):=⟨\mathit{\hspace{1em}},b^i⟩,$$

   ${\beta }^i$ que llamaremos covectores básicos.

10. Si $a\in V$ entonces $a=a^i{b}_i$ con suma sobre $i$ (convención de la suma de Einstein) . Los $a^i$ se llaman componentes contra-variantes de $a$. En la base reciproca $a=a_i{b}^i$ y llamamos a los $a_i$ componentes co-variantes de $a$. Estas son las leyes de subir y bajar indices . Tenemos el siguiente ”truco”

    $$a=a^i{b}_i=a^i{\delta }_i^j{b}_j=a^i{g}_{ik}{g}^{kj}{b}_j=a_k{b}^k$$

    lo que muestra como se escribe $a$ como combinación lineal en las dos bases: $b_i$ y $b^j$ de $V$.

11. La relación entre los componentes es entonces

    $$a_i=g_{ij}{a}^j$$

    o bien

    $$a^i=g^{ij}{a}_j.$$

12. Ahora si $f\in V^{*}$ entonces

    $$f(\mathit{\hspace{1em}})=⟨\mathit{\hspace{1em}},a⟩=⟨\mathit{\hspace{1em}},a_i{b}^i⟩=a_i⟨\mathit{\hspace{1em}},b^i⟩=a_i{\beta }^i(\mathit{\hspace{1em}})$$

    en otras palabras $f=a_i{\beta }^i$. Así los ${\beta }^i$ generan a $V^{*}$. Y por lo tanto $dimV=dim{V}^{*}$

13. $V^{*}$ también es euclideano. Sean $f,g\in V^{*}$ y $a,b\in V$ sus representantes respectivamente, entonces

    $${⟨f,g⟩}^{*}:=⟨a,b⟩$$

    define un producto interior en $V^{*}$.

14. Sea $V^{**}={(V^{*})}^{*}$ el dual del dual. Se identifica con $V$, pues si $T:V^{*}\to R$ entonces existirá $f\in V^{*}$ talque

    $$F(\mu )={⟨\mu ,f⟩}^{*}$$

    para todo covector $\mu$ y $f$ fija. Pero si $f(X)=⟨X,a⟩$ entonces la aplicación

    $$F⟼a,$$

    será un isomorfismo-isometría $V^{**}\cong V$. En otras palabras podemos representar con los elementos de $V$ a los $V^{**}$ mediante la fórmula

    $$F(\mu )={⟨\mu ,f⟩}^{*}=⟨m,a⟩=⟨a,m⟩=\mu (a)$$

    donde $\mu ()=⟨\mathit{\hspace{1em}},m⟩$.

    Mediante el mismo proceso de dualización que hicimos para construir $V^{*}$ desde $V$, ahora habrá funcionales lineales $B_i:V^{*}\to R$ dados mediante la fórmula

    $$B_i(\mathit{\hspace{1em}})={⟨\mathit{\hspace{1em}},{\beta }_i⟩}^{*}$$

    donde los ${\beta }_i=g_{ij}{\beta }^j$ son los básicos reciprocos de los ${\beta }^j$. Así

    $$F(\mathit{\hspace{1em}})={⟨\mathit{\hspace{1em}},f⟩}^{*}={⟨\mathit{\hspace{1em}},a^k{\beta }_k⟩}^{*}=a^k{⟨\mathit{\hspace{1em}},{\beta }_k⟩}^{*}=a^k{B}_k(\mathit{\hspace{1em}})$$

15. Una tranformación k-lineal covariante o k-tensor covariante es un

    $$A:V\times \mathrm{\cdots }\times V\to R$$

    que satisface (para cualquiera sean los escalares $r,s$):

    $$A(r{X}_1+s{Y}_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)=rA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)+sA(Y_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k),$$

    $$A(X_1,r{X}_2+s{Y}_2,\mathrm{\dots },X_k)=rA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)+sA(X_1,Y_2,\mathrm{\dots },X_k),$$

    $$\mathrm{\dots }$$

    $$A(X_1,X_2,\mathrm{\dots },r{X}_k+s{Y}_k)=rA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)+sA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },Y_k),$$

    Es decir $A$ es lineal en cada uno de sus $k$ argumentos. En estos términos $⟨,⟩$ es un mapeo $2$-lineal. También $det$ es $n$-lineal.

16. Similarmente las tranformaciones multilineales contravariantes o los k-tensores contravariantes son los mapeos $k$-lineales

    $$B:V^{*}\times \mathrm{\cdots }\times V^{*}\to R.$$

17. Sean $T^{(k,0)}V$ el conjunto de los $k$-co tensores y $T^{(0,l)}V$ los $l$-contra tensores. Ellos forman espacios vectoriales con las operaciones obvias. También es posible $T^{(k,l)}V$ que es el conjunto de los tensores mixtos $k$-covariantes y $l$-contravariantes. Se tiene que

18. Para contruir las bases (vectoriales) del espacio $T^{(2,0)}V$ definimos el producto tensorial de basicos de $V^{*}$

    $${\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Y):={\beta }^i(X){\beta }^j(Y),$$

    para $2$ factores, siendo el lado derecho de la relación de arriba un simple producto en $R$. Similarmente para $p$ covectores básicos:

    $${\beta }^{i_1}\otimes \mathrm{\cdots }\otimes {\beta }^{i_p}(X_1,\mathrm{\dots },X_p):={\beta }^{i_1}(X_1)\mathrm{\cdots }{\beta }^{i_p}(X_p).$$

    No es difícil ver que tales construciones son verdaderamente transformaciones $p$-multilineales.

19. Para $T^{(0,l)}V$ tenemos

    $$b^{i_1}\otimes \mathrm{\cdots }\otimes b^{i_l}(f_1,\mathrm{\dots },f_l):=f_1(b^{i_1})\mathrm{\cdots }{f}_l(b^{i_l}),$$

    donde $f_i$ son $l$ covectores arbitrarios.

20. Para los mixtos vemos por ejemplo que en $T^{(1,1)}V$ tenemos

    $${\beta }^i\otimes b^j(X,f):={\beta }^i(X)f(b^j),$$

    …etc.

21. Con aquellas bases, si $A\in T^{(3,0)}V$ entonces

    $$A=A_{\mu \nu \lambda }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }\otimes {\beta }^{\lambda },$$

    ejemplo que ilustra el caso general para co-tensores. Los $A_{\mu \nu \lambda }$ se llaman componentes covariantes del tensor $A$.

22. Sean $T\in T^{(k,0)}V$ y $W\in T^{(l,0)}V$ entonces $T\otimes W$ será un $k+l$-tensor covariante cuyos componentes son

    $${(T\otimes W)}_{i_1\mathrm{\dots }{i}_{k+l}}=T_{i_1\mathrm{\dots }{i}_k}{W}_{i_{k+1}\mathrm{\dots }{i}_{k+l}}.$$

23. Con relaciones del tipo

    $$g^{\mu \nu }{T}_{\alpha \nu \lambda }=T_{\alpha }{}^{\mu }{}_{\lambda },$$

    (suma sobre $\nu$) se cambia de componentes covariantes a mixtos y a contravariantes.

24. Observe que

    $$T^{(1,0)}V=V^{*}.$$

    $$T^{(0,1)}V=V^{**}=V.$$

    $$T^{(1,1)}V=\mathrm{hom}(V,V).$$

25. También tenemos

    $$⟨,⟩=g_{ij}{\beta }^i\otimes {\beta }^j.$$

    Además de que podemos transformar $T^{(2,0)}V\to T^{(0,2)}V$ isomórficamente conforme a

    $$A_{ij}{\beta }^i\otimes {\beta }^j\mapsto A^{ij}{b}_i\otimes b_j.$$

    visto como tensor $T^{(1,1)}V$ se vería como

    $$A_i{}^j{\beta }^i\otimes b_j.$$

26. Un tensor covariante se dice alternante si cualquier cambio de dos indices en los componentes corresponde un cambio de signo con respecto al nuevo componente, como por ejemplo

    $$A_{\mu \nu \lambda \kappa }=-A_{\nu \mu \lambda \kappa }.$$

27. Sea ${\mathrm{\Lambda }}^{k}V$ el conjunto de todos los tensores $k$-covariantes alternantes, también llamados $k$-formas. ${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ es un espacio vectorial.

28. La base para ${\mathrm{\Lambda }}^{2}V={\mathrm{\Lambda }}^2(V)$ se logra con el producto exterior

    ${\beta }^i\wedge {\beta }^j(X,Y)$ $=$ $({\beta }^i\otimes {\beta }^j-{\beta }^j\otimes {\beta }^i)(X,Y),$

    $=$ ${\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Y)-{\beta }^j\otimes {\beta }^i(X,Y),$

    $=$ ${\beta }^i(X){\beta }^j(Y)-{\beta }^j(X){\beta }^i(Y).$

    Esta construcción es bilineal y alternante. ${\beta }^i\wedge {\beta }^j$ se llama bivector básico.

    Observe que

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^i=0,$$

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j=-{\beta }^j\wedge {\beta }^i.$$

    Por lo tanto

    $$dim{\mathrm{\Lambda }}^{2}V=n!/2!(n-2)!=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{2}\right).$$

29. Similarmente ${\mathrm{\Lambda }}^{3}V$ es el espacio de las 3-formas que esta generado por la construcción;

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k=\sum _{p\in S_3}{(-1)}^p{\beta }^{p(i)}\otimes {\beta }^{p(j)}\otimes {\beta }^{p(k)},$$

    donde $S_3$ son las $6$ permutaciones de $\{i,j,k\}$ y ${(-1)}^p$ su paridad.

    Observe que

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k(b_s,b_t,b_u)={\delta }_s^i{\delta }_t^j{\delta }_u^k-{\delta }_s^i{\delta }_t^k{\delta }_u^j+{\delta }_s^k{\delta }_t^i{\delta }_u^j-{\delta }_s^k{\delta }_t^j{\delta }_u^i+{\delta }_s^j{\delta }_t^k{\delta }_u^i-{\delta }_s^j{\delta }_t^i{\delta }_u^k$$

    Entonces ${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k(b_s,b_u,b_t)=0$ si los conjuntos $\{i,j,k\}$ y $\{s,t,u\}$ son diferentes.

    Además si $X=X^s{b}_s,Y=Y^t{b}_t,Z=Z^u{b}_u$ entonces

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k(X,Y,Z)=X^i{Y}^j{Z}^k-X^i{Y}^k{Z}^j+X^k{Y}^i{Z}^j-X^k{Y}^j{Z}^i+X^j{Y}^k{Z}^i-X^j{Y}^i{Z}^k$$

    
    
    
    

    Entonces

    $$dim{\mathrm{\Lambda }}^{3}V=n!/3!(n-3)!=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{3}\right).$$

30. No es difícil visualizar que

    $$dim{\mathrm{\Lambda }}^{k}V=n!/k!(n-k)!=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n-k}\right).$$

    Y que ${\mathrm{\Lambda }}^{n+r}V=0$ para cada $r\in Z$.

31. Sea $A:V\to W$ una transformación lineal y si $f:W\to R$ es un covector en $W$ entonces podemos hacer el ”pullback” de $f$, denotado y calculado mediante

    $$A^{*}(f)=f\cdot A$$

    Observe que esto último es la composición $V\stackrel{A}{\to }W\stackrel{f}{\to }R$. En otras palabras tenemos que $A$ induce una transformación lineal $A^{*}:W^{*}\to V^{*}$.

******************

1. ?‘ Cuál es la dimensión de espacio vectorial real $\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$ (generado por los ${\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}$) ?
RESP: solo hay ${\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}$ objetos basicos:

$$b_1\otimes b_1$$

$$b_1\otimes b_2$$

$$b_1\otimes b_3$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_1\otimes b_n$$

$$b_2\otimes b_1$$

$$b_2\otimes b_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_{n-1}\otimes b_n$$

$$b_n\otimes b_1$$

$$b_n\otimes b_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_n\otimes b_n$$

para escribir combinaciones lineales

$$B=B^{ij}{b}_i\otimes b_j=B^{11}{b}_1\otimes b_1+B^{12}{b}_1\otimes b_2+\mathrm{\dots }+B^{nn}{b}_n\otimes b_n$$

estos $\mathrm{B}$ son los 2-contra-tensores.

 

2. ?‘ Y de $\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{b}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{\otimes }\mathrm{\cdots }\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$?
RESP: solo hay ${\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}$ objetos basicos:

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_1$$

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_2$$

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_3$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

$$b_1\otimes b_2\otimes \mathrm{\dots }\otimes \mathrm{\dots }{b}_1$$

$$b_1\otimes b_2\otimes \mathrm{\dots }\otimes \mathrm{\dots }{b}_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_1\otimes b_2\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_{n-1}\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_1$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_{n-1}\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

$$b_n\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_1$$

$$b_n\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_n\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

 

3. La relación con la geometría esta dada mediante la substitución

$$b_k={\partial }_k=\frac{\partial }{\partial x^k}$$

donde

$${\partial }_k={d\mathrm{\Phi }|}_p{e}_k$$

y donde $\mathrm{\Phi }$ es una parametrización local $\mathrm{\Phi }\mathrm{:}\mathrm{D}\mathrm{\to }\mathrm{M}\mathrm{\subset }{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}}$.

?‘ Cuál es la dimensión de ${\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{r}}\mathsf{}\mathrm{(}{\mathrm{T}}_{\mathrm{p}}\mathsf{}\mathrm{M}\mathrm{)}$, siendo ${\mathrm{T}}_{\mathrm{p}}\mathsf{}\mathrm{M}$ de dimensión $\mathrm{n}$?

4. Si $\mathrm{f}\mathrm{:}\mathrm{U}\mathrm{\to }\mathrm{V}$ y $\mathrm{g}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{W}$ son tranformaciones lineales entre espacios vectoriales reales demuestre que ${\mathrm{(}\mathrm{g}\mathrm{\circ }\mathrm{f}\mathrm{)}}^{\mathrm{*}}\mathrm{=}{\mathrm{f}}^{\mathrm{*}}\mathrm{\circ }{\mathrm{g}}^{\mathrm{*}}$.

5. Explique como transforman las 2-formas, si cambiamos de coordenadas.

6. Calcule los ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{k}}^{\mathrm{i}}$ para la parametrizacón $\mathrm{\Phi }\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{5}\mathsf{}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathsf{}\mathrm{w}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{-}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{7}\mathsf{}\mathrm{w}\mathrm{,}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathsf{}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{)}$.

7. Calcular todos los ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{k}}^{\mathrm{i}}$ para el paraboloide $\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{\mapsto }\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{,}{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}$. (Resuelto en cursur.pdf)

8. ?‘ Cuál es el volumen generado por los campos vectoriales $\mathrm{S}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathsf{}\mathrm{u}\mathrm{+}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathsf{}\mathrm{w}\mathrm{)}$ , $\mathrm{T}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{w}\mathrm{,}{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}$ y ${\mathrm{D}}_{\mathrm{S}}\mathsf{}\mathrm{T}$ en el punto $\mathrm{p}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{2}\mathrm{)}$?

9. Sean $\mathrm{a}\mathrm{=}\mathrm{(}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$ y $\mathrm{b}\mathrm{=}\mathrm{(}{\mathrm{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$. Definimos

$$a{\times }_{1}b=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$

Demuestre que ${\mathrm{\times }}_{\mathrm{1}}$ define un mapeo bilineal ${\mathrm{R}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{R}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\to }\mathrm{R}$.
RESP: Se debe ver que si ponemos una combinación lineal en la primera entrada

$$(ka+k^{\prime }{a}^{\prime }){\times }_{1}b=k(a{\times }_{1}b)+k^{\prime }(a^{\prime }{\times }_{1}b)$$

y también en la segunda

$$a{\times }_1(kb+k^{\prime }{b}^{\prime })=k(a{\times }_{1}b)+k^{\prime }(a{\times }_1{b}^{\prime })$$

 

10. Similar al anterior pero con

$$a{\times }_{2}b=a_1{b}_3-a_3{b}_1$$

11. ?‘ Cuántos mapeos bilineales como los previos se pueden construir cuando $\mathrm{n}\mathrm{=}\mathrm{4}$?

12. Demuestre que ${\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{d}\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{a}}\mathrm{\wedge }\mathrm{d}\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{b}}\mathrm{)}$ satisface la regla de Leibniz.

13. Diga como son los componentes $\mathrm{A}^{\mathrm{\mu }}{}_{\mathrm{\nu }}{}_{\mathrm{;}\mathrm{k}}$ en términos de derivadas parciales y symbolos de Chistoffel, para un tensor mixto $\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{A}^{\mathrm{\mu }}{}_{\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }\mathrm{d}\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{\nu }}$.

14. Sean $\mathrm{A}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{\mu }\mathsf{}\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\nu }}$ y $\mathrm{B}\mathrm{=}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\sigma }\mathsf{}\mathrm{\tau }}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\sigma }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\tau }}$ dos contratensores de rango 2. Definimos

$${⟨A,B⟩}_2=g_{\nu \sigma }{g}_{\mu \tau }{A}^{\mu \nu }{B}^{\sigma \tau }=A^{\mu }{}_{\sigma }B^{\sigma }{}_{\mu }$$

Verifique que ${\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$ define un producto interior entre los contratensores de rango 2.
RESP: Se deben de checar los axiomas de espacio vectorial con producto interior:

i) Bilinealidad: ${\mathrm{⟨}\mathrm{k}\mathsf{}\mathrm{A}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{A}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{k}\mathsf{}{\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{⟨}{\mathrm{A}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$ y
${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{k}\mathsf{}\mathrm{B}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{k}\mathsf{}{\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$;

ii) Simetría: ${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{⟨}\mathrm{B}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$;

iii) Positivo definido: ${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\ge }\mathrm{0}$ si $\mathrm{A}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$;

iv) No degeneado: ${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{0}$ si y solo si $\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{0}$.

 

15. ?‘ Cuál es la ley de transformación de ${\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{l}}$ cuando cambiamos coordenadas?

RESP: Por un lado tenemos

$${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{\partial }_s={\nabla }_{{\partial }_i}{\partial }_j\mathit{\hspace{1em}}\mathsf{\text{tanto como}}\mathit{\hspace{1em}}{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\tilde{\partial }}_s={\nabla }_{{\tilde{\partial }}_i}\tilde{\partial }$$

y como

$${\partial }_k=\frac{\partial y^s}{\partial x^k}{\tilde{\partial }}_s\mathit{\hspace{1em}}\text{𝘪𝘮𝘱𝘭𝘪𝘤𝘢}\mathit{\hspace{1em}}{\tilde{\partial }}_k=\frac{\partial x^s}{\partial y^k}{\partial }_s$$

entonces

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\tilde{\partial }}_s={\nabla }_{{\tilde{\partial }}_i}{\tilde{\partial }}_j={\nabla }_{(\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\partial }_s)}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\partial }_t)=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\nabla }_{{\partial }_s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\partial }_t)$$

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\tilde{\partial }}_s=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}){\partial }_t+\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\nabla }_{{\partial }_s}{\partial }_t\hfill \end{array}\right]$$

$$=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}){\partial }_t+\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\mathrm{\Gamma }}_{st}^r{\partial }_r\hfill \end{array}\right]$$

$$=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\hfill \end{array}\right]{\partial }_t$$

$$=\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})\frac{\partial x^s}{\partial y^i}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\hfill \end{array}\right]{\partial }_t$$

pero ${\mathrm{\partial }}_{\mathrm{t}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\partial }\mathsf{}{\mathrm{y}}^{\mathrm{u}}}{\mathrm{\partial }\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{t}}}\mathsf{}{\stackrel{\mathrm{~}}{\mathrm{\partial }}}_{\mathrm{u}}$ entonces

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^u{\tilde{\partial }}_u=\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\frac{\partial y^u}{\partial x^t}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\frac{\partial y^u}{\partial x^t}\hfill \end{array}\right]{\tilde{\partial }}_u$$

por lo tanto

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^u=\frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\frac{\partial y^u}{\partial x^t}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\frac{\partial y^u}{\partial x^t}$$

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^u=\frac{{\partial }^2{x}^t}{\partial y^j\partial y^i}\frac{\partial y^u}{\partial x^t}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\frac{\partial y^u}{\partial x^t}$$

 

16. ?‘ Y de ${\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}\mathrm{A}\mathrm{\otimes }\mathrm{B}$ donde $\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}$ son 1-covariantes?

17 ?‘ Y de la derivada covariante en dirección $\mathrm{X}$ de un mixto 2-covariante y 1-contravariante?

Los siguientes ejemplos estan dedicados a mi amigo Perucho de Venezuela…

18.- Demuestre que ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{r}}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathsf{}{\mathrm{g}}^{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{s}}\mathsf{}{\mathrm{g}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{i}\mathrm{,}\mathrm{r}}$.

RESP: Desde la definición ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{r}}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathsf{}{\mathrm{g}}^{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{s}}\mathsf{}\mathrm{\left[}\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{g}}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{s}\mathrm{,}\mathrm{r}}\mathrm{+}{\mathrm{g}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{r}\mathrm{,}\mathrm{j}}\mathrm{-}{\mathrm{g}}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{r}\mathrm{,}\mathrm{s}}\hfill \end{array}\mathrm{\right]}$ haciendo $\mathrm{j}\mathrm{=}\mathrm{i}$ tendremos

$${\mathrm{\Gamma }}_{ir}^i=\frac{1}{2}{g}^{is}\left[\begin{array}{c}\hfill g_{is,r}+g_{sr,i}-g_{ir,s}\hfill \end{array}\right]$$

$${\mathrm{\Gamma }}_{ir}^i=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}\hfill g^{is}{g}_{is,r}+g^{is}{g}_{sr,i}-g^{is}{g}_{ir,s}\hfill \end{array}\right]$$

$$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}\hfill g^{is}{g}_{is,r}+g^{is}{g}_{sr,i}-g^{si}{g}_{sr,i}\hfill \end{array}\right]$$

$${\mathrm{\Gamma }}_{ir}^i=\frac{1}{2}{g}^{is}{g}_{is,r}$$

 

19. El siguiente esquema permite encontrar la matriz de una transformación lineal (definida usando la base standar) en un cambio de base:

${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{e}$${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{e}$${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{b}$${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{b}$ h//C   h//C   h//C  

Title	Algebra multilineal de e.v. euclideanos
Canonical name	AlgebraMultilinealDeEvEuclideanos
Date of creation	2013-03-11 19:23:36
Last modified on	2013-03-11 19:23:36
Owner	juanman (12619)
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Numerical id	1
Author	juanman (0)
Entry type	Definition