area of a quadrilateral

Let $a, b, c, d$ be the lengths of the sides of a quadrilateral and $K$ be its area. Let $s$ be the semiperimeter. Then

$K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^{2}\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)$

where $\theta$ and $\phi$ are of the quadrilateral. Letting $d\to 0$ we obtain Heron’s formula for the area of a triangle.

References

1 C.A. Bretschneider, Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Math. 2, (1842), 225-261.
2 F. Strehlke, Zwei neue Sätze vom ebenen und shpärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Math. 2, (1842) 323-326.