Mertens function

Given an integer $n>0$ ,

M(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)

where $\mu(x)$ is the Möbius function.

There is no $x$ such that $M(x)>x$ . Franz Mertens conjectured that there is no $x$ such that $M(x)>\sqrt{x}$ , but this was proven false later.

References

1 F. Mertens, “ÃÆber eine zahlentheoretische Funktion” Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, 761-830 (1897)
2 A. M. Odlzyko and te Riele, “Disproof of the Mertens Conjecture” Journal fÃÆÃÂ¼r die reine und angewandte Mathematik, 357, 138-160 (1985)

http://primefan.tripod.com/Mertens2500.htmlMöbius and Mertens Values For n = 1 to 2500