Principios de álgebra multilineal

ÁLGEBRA MULTILINEAL

DE ESPACIOS VECTORIALES REALES

CON PRODUCTO INTERIOR

Juan M. Márquez B.

Principios de álgebra multilineal Sea $V$ un espacio vectorial sobre los reales $\Bbb{R}$ de dimensión $n$ . Si los objetos $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ es una base entonces usamos la notación

V=\langle\{b_{i}\}\rangle=\langle\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}\rangle

para indicar que cada $X$ vector en $V$ se escribe como combinación lineal de los $b_{i}$ .

Espacio dual

El espacio dual de $V$ se define como el conjunto $V^{*}$ de los funcionales lineales $V\to\Bbb{R}$ . Resulta que $V^{*}$ también es una espacio vectorial.

?‘ Cuál es una base y la dimensión de este espacio?

Considere las transformaciones (una para cada $i$ )

\beta^{i}:V\to\Bbb{R}

definida por

X\mapsto\beta^{i}(X)=X^{i},

donde $X=X^{s}b_{s}$ (convención de la suma de Einstein).

Así $\beta^{i}$ es una función lineal. En otras palabras, el funcional $\beta^{i}$ ”extrae” el $i$ -esimo componente de $X$ y cumple linealidad:

\beta^{i}(aX)=a\beta^{i}(X)

\beta^{i}(X+Y)=\beta^{i}(X)+\beta^{i}(Y)

para cualesquiera escalar $a$ y vectores $X, Y$ .

Los elementos de $V^{*}$ también se llaman covectores.

Todo elemento $f\in V^{*}$ se escribe así ;

f=f_{s}\beta^{s}

donde los componentes satisfacen $f_{s}=f(b_{s})$

Producto tensorial

Sean $V, W$ dos espacios vectoriales sobre los reales $\Bbb{R}$ . Indicamos con

V=\langle\{b_{1},...,b_{n}\}\rangle

que el espacio $V$ está generado por los vectores básicos $b_{i}$ . En otras palabras; si $X\in V$ entonces

X=X^{s}b_{s}

es la combinación lineal $X=X^{1}b_{1}+X^{2}b_{2}+\cdots+X^{n}b_{n}$ .

Si $W=\langle\{d_{1},...,d_{m}\}\rangle$ es otro espacio vectorial, entonces definimos

V\otimes W=\langle\{b_{1}\otimes d_{1},b_{1}\otimes d_{2},...,b_{n}\otimes d_{% m},\}\rangle,

esto implica que si $B\in V\otimes W$ entonces

B=B^{st}b_{s}\otimes d_{t}

lo cual es la combinación lineal bi-indexada:

B=B^{11}b_{1}\otimes d_{1}+B^{12}b_{1}\otimes d_{2}+\cdots+B^{nm}b_{n}\otimes d% _{m}

Los objetos en $V\otimes V$ se llaman tensor contravariante de rango 2 en $V$ o bien un 2-contratensor.

Los objetos en $V^{*}\otimes V^{*}$ se llaman tensor covariante de rango 2 en $V$ o bien un 2-cotensor.

Los objetos en $V^{*}\otimes V$ se llaman tensor mixto de rango 2 en $V$ .

Multilinealidad

Los elementos básicos de $V^{*}\otimes V^{*}$ pueden ser visualizados como transformaciones bilineales

\beta^{i}\otimes\beta^{j}:V\times V\to\Bbb{R}

mediante la asignación dada por

(X,Y)\mapsto\beta^{i}\otimes\beta^{j}(X,Y)=\beta^{i}(X)\beta^{j}(Y)=X^{i}Y^{j}

Similarmente los elementos básicos de $V\otimes V$ pueden ser considerados como mapas bilineales

b_{i}\otimes b_{j}:V^{*}\otimes V^{*}\to\Bbb{R}

mediante la asignación

(f,g)\mapsto b_{i}\otimes b_{j}(f,g)=f(b_{i})g(b_{j})=f_{i}g_{j}

Un elemento básico de $V^{*}\otimes V$ se puede ver como un mapa bilineal

V\times V^{*}\to\Bbb{R}

mediante la fórmula

(X,f)\mapsto\beta^{i}\otimes b_{j}(X,f)=\beta^{i}(X)f(b_{j})=X^{i}f_{j}

Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo, para cualesquiera escalares $a,c\in\Bbb{R}$ y vectores $X,Y,Z\in V$ tenemos

\beta^{i}\otimes\beta^{j}(aX+cY,Z)=a\beta^{i}\otimes\beta^{j}(X,Z)+c\beta^{i}% \otimes\beta^{j}(Y,Z)

\beta^{i}\otimes\beta^{j}(X,aY+cZ)=a\beta^{i}\otimes\beta^{j}(X,Y)+c\beta^{i}% \otimes\beta^{j}(X,Z)

que son respectivamente

(aX^{i}+cY^{i})z^{j}=aX^{i}Z^{j}+cY^{i}Z^{j}

X^{i}(aY^{j}+cZ^{j})=aX^{i}Y^{j}+cX^{i}Z^{j}

Toda transformación bilineal $V\times V\to\Bbb{R}$ está generada por los $\beta^{i}\otimes\beta^{j}$ pues si $B:V\times V\to\Bbb{R}$ es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como

B=B_{st}\beta^{s}\otimes\beta^{t}

y denotaremos con $T^{(2,0)}V$ el espacio vectorial generado por los $\beta^{i}\otimes\beta^{j}$ , en otras palabras

T^{(2,0)}V=\langle\{\beta^{i}\otimes\beta^{j}\}\rangle

Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales

T^{(3,0)}V=\langle\{\beta^{i}\otimes\beta^{j}\otimes\beta^{k}\}\rangle

donde $\beta^{i}\otimes\beta^{j}\otimes\beta^{k}(X,Y,Z)=X^{i}Y^{j}Z^{k}$ es una construcción tri-lineal básica. Así cualquier otro mapa trilineal $T:V\times V\times V\to\Bbb{R}$ se escribe conforme a

T=T_{stu}\beta^{s}\otimes\beta^{t}\otimes\beta^{u}

No es difícil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial $T^{(k,0)}V$ y cuál es una base para él. ?‘puede ud. decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios vectoriales?

Álgebra de Grassmann

Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimétricas, es decir transformaciones multilieales que cambian de signo cuando intercambiamos (transponemos) dos de sus argumentos. Por ejemplo un mapa bilineal $B:V\times V\to\Bbb{R}$ es antisimétrico (o alternante) si satisface

B(X,Y)=-B(Y,X)

un trilineal alternante cumple

$\displaystyle T(X,Y,Z)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-T(Y,X,Z)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle T(Y,Z,X)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-T(Z,Y,X)$

La construcción

\beta^{i}\wedge\beta^{j}=\beta\otimes\beta^{j}-\beta^{j}\otimes\beta^{i}

define un operador bilineal antisimétrico básico y satisface

\beta^{i}\wedge\beta^{j}(X,Y)=X^{i}Y^{j}-X^{j}Y^{i}

Otra notación es

\beta^{i}\wedge\beta^{j}=\beta^{[i}\otimes\beta^{j]}

Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales –también llamados bivectores o 2-formas– y los simbolizamos con

\Lambda^{2}V=\langle\{\beta^{i}\wedge\beta^{j}\}\rangle

esto implica que si $B\in\Lambda^{2}V$ entonces $B=B_{st}\beta^{s}\wedge\beta^{t}$

Observe que $\beta^{i}\wedge\beta^{i}=0$ para cada $i$ .

Ahora, si $\dim V=n$ entonces

\beta^{1}\wedge\beta^{2},\beta^{1}\wedge\beta^{3},...,\beta^{1}\wedge\beta^{n}% ,\beta^{2}\wedge\beta^{3},...,\beta^{n-1}\wedge\beta^{n}

son los únicos bivectores básicos por lo tanto $\dim\Lambda^{2}V={n\choose 2}$

El espacio vectorial $\Lambda^{k}V$ generado por los productos exteriores de $k$ covectores básicos

\beta^{i_{1}}\wedge\beta^{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\beta^{i_{k}}

donde los indices cumplen $i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}$ , tiene dimensión ${n\choose k}$ i.e.

\dim(\Lambda^{k}V)={\dim V\choose k}

El espacio $\Lambda^{n}V$ está generado por la única n-forma $\beta^{1}\wedge\beta^{2}\wedge\cdots\wedge\beta^{n}$ por lo que $\dim(\Lambda^{n}V)=1$ .

El espacio vectorial

\Lambda V=\Lambda^{0}V\oplus\Lambda^{1}V\oplus\cdots\oplus\Lambda^{n-1}V\oplus% \Lambda^{n}V

junto con el producto exterior $\wedge$ constituyen un álgebra que recibe el nombre de álgebra de Grassmann (o álgebra exterior) de $V$

Espacios vectoriales con producto interior.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre los reales $\Bbb{R}$ generado por los objetos $\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$ . Suponga que existe un producto interior en $V$ i.e. hay un mapa

\langle\quad,\quad\rangle:V\times V\to\Bbb{R}

el cual es bilineal, simétrico y positivo definido no degenerado: repectivamente

1.

$\langle aX+cY,Z\rangle=a\langle X,Z\rangle+c\langle Y,Z\rangle$
2.

$\langle X,aY+cZ\rangle=a\langle X,Y\rangle+c\langle X,Z\rangle$
3.

$\langle X,Y\rangle=\langle Y,Z\rangle$
4.

$\langle X,X\rangle\geq 0$
5.

$\langle X,X\rangle=0$ si y sólo si $X=0$

donde $a, c$ son escalares reales y $X, Y, Z$ vectores arbitarios en $V$ .

El tensor métrico es la matriz

G=\left(\begin{array}[]{cccc}g_{11}&g_{12}&\cdots&g_{1n}\\ g_{21}&g_{22}&\cdots&g_{2n}\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ g_{n1}&&&g_{nn}\end{array}\right)

donde $g_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle$ .

La matriz inversa $G^{-1}$ se llama cotensor métrico y sus entradas se indexan $G^{-1}=[g^{ij}]$ , por lo que al multiplicar $G$ y $G^{-1}$ se obtienen las relaciones

{\delta_{i}}^{j}=g_{is}g^{sj}=g_{i1}g^{1j}+g_{i2}g^{2j}+\cdots g_{in}g^{nj}

Lema de Representación de Riesz Sea $f\colon V\to\Bbb{R}$ un covector en $V$ con producto interior $\langle\quad,\quad\rangle$ . Entonces existe un único vector $a\in V$ el cual determina a $f$ , esto es:

f(\quad)=\langle a,\quad\rangle

Para los covectores básicos $\beta^{i}$ resulta que el vector $b^{i}=g^{is}b_{s}$ (suma sobre $s$ ) satisface

\beta^{i}(\quad)=\langle b^{i},\quad\rangle

pues si $\beta^{i}$ se aplica a el básico $b_{t}$ tenemos

$\displaystyle\beta^{i}(b_{t})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle b^{i},b_{t}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle g^{is}b_{s},b_{t}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{is}\langle b_{s},b_{t}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{is}g_{st}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{\delta^{i}}_{t}$

por lo que aplicado a un vector $X=X^{\mu}b_{\mu}$ arbitario tenemos

$\displaystyle\beta^{i}(X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle b^{i},X^{\mu}b_{\mu}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle X^{\mu}\langle b^{i},b_{\mu}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle X^{\mu}{\delta^{i}}_{\mu}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle X^{i}$

Los vectores $b^{1},b^{2},...,b^{n}$ son linealmente independientes, forman también una base para $V$ y se llaman básicos reciprocos.

Siendo $T^{(2,0)}V$ el conjunto de los mapeos bilineales $V\times V\to\Bbb{R}$ y si $B\in T^{(2,0)}V$ entonces $B=B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}$ .

En el conjunto $T^{(0,2)}V$ está el mapeo bilineal $\bar{B}=B^{\mu\nu}b_{\mu}\otimes b_{\nu}$ .

Y en $T^{(1,1)}V$ está $\bar{\bar{B}}={B_{\mu}}^{\nu}\beta^{\mu}\otimes b_{\nu}$ .

Ahora si construimos los básicos reciprocos duales

\beta_{i}=g_{is}\beta^{s}

vamos a poder calcular que

B(b_{s},b_{t})=\bar{B}(\beta_{s},\beta_{t})=\bar{\bar{B}}(b_{s},\beta_{t})=B_{st}

donde los componentes se relacionan mediante el cotensor métrico así:

{B^{i}}_{j}=B_{sj}g^{si}

con suma sobre $s$ , y

B^{ij}={B^{i}}_{s}g^{sj}=B_{st}g^{si}g^{tj}

con suma sobre $t$ y $s, t$ respectivamente. O bien ${B_{i}}^{j}=B^{sj}g_{si}$ y $B_{ij}={B_{i}}^{s}g_{sj}$ .

Todas estas relaciones entre los componentes con respecto al tensor y cotensor métricos reciben el nombre de leyes de subir y bajar índices.

Las formas tiene un producto interior también

Es posible inducir un producto interior en los espacios $\Lambda^{k}V$ . Si $A=A_{i_{1}...i_{k}}\beta^{i_{1}}\wedge\dots\wedge\beta^{i_{k}}$ y $C=C_{j_{1}...j_{k}}\beta^{j_{1}}\wedge\dots\wedge\beta^{j_{k}}$ entonces

\langle A,C\rangle=g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}A_{i_{1}...i_{k}}C_{j_{1% }...j_{k}}

Por ejemplo para 1-formas tenemos

	$\displaystyle\langle A,C\rangle$	$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{i_{1}j_{1}}A_{i_{1}}C_{j_{1}}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle A_{i_{1}}C^{i_{1}}$

que satisface los 5 axiomas de producto interior.

Pullback

Teniendo una transformación lineal $L\colon V\to W$ podemos construir por cada forma en $W$ otra forma en $V$ . Pues si $\phi\in W^{*}=\Lambda^{1}V$ es decir $\phi\colon W\to\Bbb{R}$ es covector en $W$ entonces podemos construir otra transformación lineal $\phi\circ L\colon V\to\Bbb{R}$ , es decir $\phi\circ L\in V^{*}=\Lambda^{1}V$ . Así hemos definido una transformación lineal

L^{*}\colon W^{*}\to V^{*}

vía

\phi\mapsto L^{*}\phi=\phi\circ L

la regla de asignación $L^{*}$ es el pullback de $L$ .

Supongamos que $V=\langle\{b_{1},...,b_{n}\}\rangle$ y $W=\langle\{c_{1},...,c_{m}\}\rangle$ , así tendremos que

Lb_{k}={L^{s}}_{k}c_{s},

es la forma en que las bases se relacionan.

?‘Cómo se relacionan las base de covectores?

Sean $V^{*}=\langle\{\beta^{1},...,\beta^{n}\}\rangle$ y $W=\langle\{\gamma^{1},...,\gamma^{m}\}\rangle$ . Sean $g_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle$ y $h_{kl}=\langle c_{k},c_{l}\rangle$ los componentes de los tensores métricos de $V$ y $W$ respectivamente.

Por lo que

$\displaystyle L^{*}\gamma^{i}(b_{k})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\gamma^{i}\circ L(b_{k})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\gamma^{i}(Lb_{k})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\gamma^{i}({L^{s}}_{k}c_{s})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{L^{s}}_{k}\gamma^{i}(c_{s})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{L^{s}}_{k}\gamma^{i}(c_{s})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{L^{s}}_{k}{\delta^{i}}_{s}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{L^{i}}_{k}$

Pero también

	$\displaystyle{L^{i}}_{t}\beta^{t}(b_{k})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle{L^{i}}_{t}{\delta^{t}}_{k}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle{L^{i}}_{k}$

Es decir

L^{*}\gamma^{i}(b_{k})={L^{i}}_{t}\beta^{t}(b_{k})

para todo básico $b_{k}$ , por lo que las transformaciones son iguales, i.e.

L^{*}\gamma^{i}={L^{i}}_{t}\beta^{t},

lo que nos indica como se relacionan las bases duales de $W, V$ respectivamente (cf. $(A)$ arriba).

Finalmente, si $\varphi\in W^{*}$ este se expresa como $\varphi=\varphi_{\mu}\gamma^{\mu}$ y entonces

L^{*}\varphi=\varphi_{\mu}L^{*}\gamma^{\mu}=\varphi_{\mu}{L^{\mu}}_{t}\beta^{t}

lo cual muestra que los componentes de $L^{*}\varphi$ son

\varphi_{\mu}{L^{\mu}}_{t}

Ejercicios

1.

Demuestre que si $V\lx@stackrel{{\scriptstyle L}}{{\to}}W\lx@stackrel{{\scriptstyle M}}{{\to}}U$ es una composición de transformaciones lineales, entonces el correspondiente diagrama de pullbacks es

$U^{*}\lx@stackrel{{\scriptstyle M^{*}}}{{\to}}W^{*}\lx@stackrel{{\scriptstyle L% ^{*}}}{{\to}}V^{*}$
2.

Escriba todo el ejercicio 1 en términos de componentes.
3.

Si el covector $\varphi\in W^{*}$ tiene una representación $\varphi(\quad)=\langle\xi,\quad\rangle$ y covector $L^{*}\varphi\in V^{*}$ tiene $L^{*}\varphi(\quad)=\langle\zeta,\quad\rangle$ , con $\xi\in W$ y $\zeta\in V$ , ?‘Cuál es la relación entre los componentes de $L$ , $\xi$ y $\zeta$ ?

Title	Principios de álgebra multilineal
Canonical name	PrincipiosDealgebraMultilineal
Date of creation	2013-03-11 19:27:49
Last modified on	2013-03-11 19:27:49
Owner	juanman (12619)
Last modified by	(0)
Numerical id	1
Author	juanman (0)
Entry type	Definition