differential propositional calculus : appendix 1

Note. The following Tables are best viewed in the Page Image mode.

0.1 Table A1. Propositional Forms on Two Variables

Table A1 lists equivalent expressions for the Boolean functions of two variables in a number of different notational systems.

Table A1. Propositional Forms on Two Variables
${ℒ}_1$	${ℒ}_2$		${ℒ}_3$	${ℒ}_4$	${ℒ}_5$	${ℒ}_6$
		$x=$	1 1 0 0
		$y=$	1 0 1 0
$f_0$	$f_{0000}$		0 0 0 0	$()$	$\mathrm{false}$	$0$
$f_1$	$f_{0001}$		0 0 0 1	$(x)(y)$	$\mathrm{neither}x\mathrm{nor}y$	$\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y$
$f_2$	$f_{0010}$		0 0 1 0	$(x)y$	$y\mathrm{without}x$	$\mathrm{\neg }x\wedge y$
$f_3$	$f_{0011}$		0 0 1 1	$(x)$	$\mathrm{not}x$	$\mathrm{\neg }x$
$f_4$	$f_{0100}$		0 1 0 0	$x(y)$	$x\mathrm{without}y$	$x\wedge \mathrm{\neg }y$
$f_5$	$f_{0101}$		0 1 0 1	$(y)$	$\mathrm{not}y$	$\mathrm{\neg }y$
$f_6$	$f_{0110}$		0 1 1 0	$(x,y)$	$x\mathrm{not}\mathrm{equal}\mathrm{to}y$	$x\ne y$
$f_7$	$f_{0111}$		0 1 1 1	$(xy)$	$\mathrm{not}\mathrm{both}x\mathrm{and}y$	$\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$
$f_8$	$f_{1000}$		1 0 0 0	$xy$	$x\mathrm{and}y$	$x\wedge y$
$f_9$	$f_{1001}$		1 0 0 1	$((x,y))$	$x\mathrm{equal}\mathrm{to}y$	$x=y$
$f_{10}$	$f_{1010}$		1 0 1 0	$y$	$y$	$y$
$f_{11}$	$f_{1011}$		1 0 1 1	$(x(y))$	$\mathrm{not}x\mathrm{without}y$	$x\Rightarrow y$
$f_{12}$	$f_{1100}$		1 1 0 0	$x$	$x$	$x$
$f_{13}$	$f_{1101}$		1 1 0 1	$((x)y)$	$\mathrm{not}y\mathrm{without}x$	$x\Leftarrow y$
$f_{14}$	$f_{1110}$		1 1 1 0	$((x)(y))$	$x\mathrm{or}y$	$x\vee y$
$f_{15}$	$f_{1111}$		1 1 1 1	$(())$	$\mathrm{true}$	$1$

0.2 Table A2. Propositional Forms on Two Variables

Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.

Table A2. Propositional Forms on Two Variables
${ℒ}_1$	${ℒ}_2$		${ℒ}_3$	${ℒ}_4$	${ℒ}_5$	${ℒ}_6$
		$x=$	1 1 0 0
		$y=$	1 0 1 0
$f_0$	$f_{0000}$		0 0 0 0	$()$	$\mathrm{false}$	$0$
$f_1$	$f_{0001}$		0 0 0 1	$(x)(y)$	$\mathrm{neither}x\mathrm{nor}y$	$\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y$
$f_2$	$f_{0010}$		0 0 1 0	$(x)y$	$y\mathrm{without}x$	$\mathrm{\neg }x\wedge y$
$f_4$	$f_{0100}$		0 1 0 0	$x(y)$	$x\mathrm{without}y$	$x\wedge \mathrm{\neg }y$
$f_8$	$f_{1000}$		1 0 0 0	$xy$	$x\mathrm{and}y$	$x\wedge y$
$f_3$	$f_{0011}$		0 0 1 1	$(x)$	$\mathrm{not}x$	$\mathrm{\neg }x$
$f_{12}$	$f_{1100}$		1 1 0 0	$x$	$x$	$x$
$f_6$	$f_{0110}$		0 1 1 0	$(x,y)$	$x\mathrm{not}\mathrm{equal}\mathrm{to}y$	$x\ne y$
$f_9$	$f_{1001}$		1 0 0 1	$((x,y))$	$x\mathrm{equal}\mathrm{to}y$	$x=y$
$f_5$	$f_{0101}$		0 1 0 1	$(y)$	$\mathrm{not}y$	$\mathrm{\neg }y$
$f_{10}$	$f_{1010}$		1 0 1 0	$y$	$y$	$y$
$f_7$	$f_{0111}$		0 1 1 1	$(xy)$	$\mathrm{not}\mathrm{both}x\mathrm{and}y$	$\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$
$f_{11}$	$f_{1011}$		1 0 1 1	$(x(y))$	$\mathrm{not}x\mathrm{without}y$	$x\Rightarrow y$
$f_{13}$	$f_{1101}$		1 1 0 1	$((x)y)$	$\mathrm{not}y\mathrm{without}x$	$x\Leftarrow y$
$f_{14}$	$f_{1110}$		1 1 1 0	$((x)(y))$	$x\mathrm{or}y$	$x\vee y$
$f_{15}$	$f_{1111}$		1 1 1 1	$(())$	$\mathrm{true}$	$1$

0.3 Table A3. $\mathrm{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}$

Table A3. $\mathrm{E}\mathbf{}f$ Expanded Over Differential Features $\mathrm{\{}\mathrm{d}\mathbf{}x\mathrm{,}\mathrm{d}\mathbf{}y\mathrm{\}}$
		${\mathrm{T}}_{11}$	${\mathrm{T}}_{10}$	${\mathrm{T}}_{01}$	${\mathrm{T}}_{00}$
	$f$	${\mathrm{E}f|}_{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$	${\mathrm{E}f|}_{\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)}$	${\mathrm{E}f|}_{(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y}$	${\mathrm{E}f|}_{(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)}$
$f_0$	$()$	$()$	$()$	$()$	$()$
$f_1$	$(x)(y)$	$xy$	$x(y)$	$(x)y$	$(x)(y)$
$f_2$	$(x)y$	$x(y)$	$xy$	$(x)(y)$	$(x)y$
$f_4$	$x(y)$	$(x)y$	$(x)(y)$	$xy$	$x(y)$
$f_8$	$xy$	$(x)(y)$	$(x)y$	$x(y)$	$xy$
$f_3$	$(x)$	$x$	$x$	$(x)$	$(x)$
$f_{12}$	$x$	$(x)$	$(x)$	$x$	$x$
$f_6$	$(x,y)$	$(x,y)$	$((x,y))$	$((x,y))$	$(x,y)$
$f_9$	$((x,y))$	$((x,y))$	$(x,y)$	$(x,y)$	$((x,y))$
$f_5$	$(y)$	$y$	$(y)$	$y$	$(y)$
$f_{10}$	$y$	$(y)$	$y$	$(y)$	$y$
$f_7$	$(xy)$	$((x)(y))$	$((x)y)$	$(x(y))$	$(xy)$
$f_{11}$	$(x(y))$	$((x)y)$	$((x)(y))$	$(xy)$	$(x(y))$
$f_{13}$	$((x)y)$	$(x(y))$	$(xy)$	$((x)(y))$	$((x)y)$
$f_{14}$	$((x)(y))$	$(xy)$	$(x(y))$	$((x)y)$	$((x)(y))$
$f_{15}$	$(())$	$(())$	$(())$	$(())$	$(())$
Fixed Point (http://planetmath.org/FixedPoint) Total:		4	4	4	16

0.4 Table A4. $\mathrm{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}$

Table A4. $\mathrm{D}\mathbf{}f$ Expanded Over Differential Features $\mathrm{\{}\mathrm{d}\mathbf{}x\mathrm{,}\mathrm{d}\mathbf{}y\mathrm{\}}$
	$f$	${\mathrm{D}f|}_{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$	${\mathrm{D}f|}_{\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)}$	${\mathrm{D}f|}_{(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y}$	${\mathrm{D}f|}_{(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)}$
$f_0$	$()$	$()$	$()$	$()$	$()$
$f_1$	$(x)(y)$	$((x,y))$	$(y)$	$(x)$	$()$
$f_2$	$(x)y$	$(x,y)$	$y$	$(x)$	$()$
$f_4$	$x(y)$	$(x,y)$	$(y)$	$x$	$()$
$f_8$	$xy$	$((x,y))$	$y$	$x$	$()$
$f_3$	$(x)$	$(())$	$(())$	$()$	$()$
$f_{12}$	$x$	$(())$	$(())$	$()$	$()$
$f_6$	$(x,y)$	$()$	$(())$	$(())$	$()$
$f_9$	$((x,y))$	$()$	$(())$	$(())$	$()$
$f_5$	$(y)$	$(())$	$()$	$(())$	$()$
$f_{10}$	$y$	$(())$	$()$	$(())$	$()$
$f_7$	$(xy)$	$((x,y))$	$y$	$x$	$()$
$f_{11}$	$(x(y))$	$(x,y)$	$(y)$	$x$	$()$
$f_{13}$	$((x)y)$	$(x,y)$	$y$	$(x)$	$()$
$f_{14}$	$((x)(y))$	$((x,y))$	$(y)$	$(x)$	$()$
$f_{15}$	$(())$	$()$	$()$	$()$	$()$

0.5 Table A5. $\mathrm{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{x,y\}$

Table A5. $\mathrm{E}\mathbf{}f$ Expanded Over Ordinary Features $\mathrm{\{}x\mathrm{,}y\mathrm{\}}$
	$f$	${\mathrm{E}f|}_{xy}$	${\mathrm{E}f|}_{x(y)}$	${\mathrm{E}f|}_{(x)y}$	${\mathrm{E}f|}_{(x)(y)}$
$f_0$	$()$	$()$	$()$	$()$	$()$
$f_1$	$(x)(y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$
$f_2$	$(x)y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$
$f_4$	$x(y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$
$f_8$	$xy$	$(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
$f_3$	$(x)$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$	$(\mathrm{d}x)$	$(\mathrm{d}x)$
$f_{12}$	$x$	$(\mathrm{d}x)$	$(\mathrm{d}x)$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$
$f_6$	$(x,y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$	$((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$
$f_9$	$((x,y))$	$((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$
$f_5$	$(y)$	$\mathrm{d}y$	$(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}y$	$(\mathrm{d}y)$
$f_{10}$	$y$	$(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}y$	$(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}y$
$f_7$	$(xy)$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$
$f_{11}$	$(x(y))$	$((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$
$f_{13}$	$((x)y)$	$(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$
$f_{14}$	$((x)(y))$	$(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$	$((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$
$f_{15}$	$(())$	$(())$	$(())$	$(())$	$(())$

0.6 Table A6. $\mathrm{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{x,y\}$

Table A6. $\mathrm{D}\mathbf{}f$ Expanded Over Ordinary Features $\mathrm{\{}x\mathrm{,}y\mathrm{\}}$
	$f$	${\mathrm{D}f|}_{xy}$	${\mathrm{D}f|}_{x(y)}$	${\mathrm{D}f|}_{(x)y}$	${\mathrm{D}f|}_{(x)(y)}$
$f_0$	$()$	$()$	$()$	$()$	$()$
$f_1$	$(x)(y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$
$f_2$	$(x)y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$
$f_4$	$x(y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$
$f_8$	$xy$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
$f_3$	$(x)$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$
$f_{12}$	$x$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$
$f_6$	$(x,y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$
$f_9$	$((x,y))$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$
$f_5$	$(y)$	$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}y$
$f_{10}$	$y$	$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}y$
$f_7$	$(xy)$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
$f_{11}$	$(x(y))$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$
$f_{13}$	$((x)y)$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$
$f_{14}$	$((x)(y))$	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$	$(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$	$((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$
$f_{15}$	$(())$	$()$	$()$	$()$	$()$

Title	differential propositional calculus : appendix 1
Canonical name	DifferentialPropositionalCalculusAppendix1
Date of creation	2013-11-16 13:40:11
Last modified on	2013-11-16 13:40:11
Owner	Jon Awbrey (15246)
Last modified by	Jon Awbrey (15246)
Numerical id	20
Author	Jon Awbrey (15246)
Entry type	Application
Classification	msc 53A40
Classification	msc 39A12
Classification	msc 34G99
Classification	msc 03B44
Classification	msc 03B42
Classification	msc 03B05
Related topic	DifferentialLogic
Related topic	MinimalNegationOperator
Related topic	PropositionalCalculus
Related topic	ZerothOrderLogic