proof of functional equation for the theta function

All sums are over all integers unless otherwise specified. Thus the theta function is

$$\theta (x)=\sum _n{e}^{-\pi n^{2}x}.$$

Using the Jacobi’s identity for $\vartheta$ functions (http://planetmath.org/JacobisIdentityForVarthetaFunctions) with $z=0$ and $\tau =i/x$, so that $-1/\tau =ix$ gives

$${\theta }_3(0\mid ix)={(1/x)}^{1/2}{\theta }_3(0\mid i/x).$$

Using the definition of ${\theta }_3$ (http://planetmath.org/JacobiVarthetaFunctions) we have that the left hand side is

$$\sum _n{e}^{-\pi x{n}^2}=\theta (x)$$

while the right hand side is

$${(1/x)}^{1/2}\sum _n{e}^{i\pi (i/x)n^2}$$

which is

$${(1/x)}^{1/2}\sum _n{e}^{-\pi n^2/x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\theta (1/x)$$

so the identity is established.

The identity is attributed to Poisson by Jacobi [1]. Jacobi writes: M. Poisson, dans ses savantes recheches sur les intégrales définies, a fait connaître plusieurs propriétés de la fonction $\mathrm{\Theta }(x)$. Les méthodes délicates, propres à cet illustre géomètre, trouvent une belle vérification dans la théorie des fonctions elliptiques. Par exemple, M. Poisson démontre dans dix-neuvième cahier du Journal de l’école polytechnique la formule remarquable:

$$\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{1+2e^{-\pi x}+2e^{-4\pi x}+2e^{-9\pi x}+2e^{-16\pi x}+\mathrm{\cdots }}{1+2e^{-\frac{\pi }{x}}+2e^{-\frac{4\pi }{x}}+2e^{-\frac{9\pi }{x}}+2e^{-\frac{16\pi }{x}}+\mathrm{\cdots }}$$

Title	proof of functional equation for the theta function
Canonical name	ProofOfFunctionalEquationForTheThetaFunction
Date of creation	2013-03-22 13:27:27
Last modified on	2013-03-22 13:27:27
Owner	Mathprof (13753)
Last modified by	Mathprof (13753)
Numerical id	14
Author	Mathprof (13753)
Entry type	Proof
Classification	msc 11M06